เมนูนำทาง
รายชื่อเอกลักษณ์ลอการิทึม
ลอการิทึมสามารถลดรูปเพื่อให้การคำนวณนั้นง่ายขึ้น ยกตัวอย่างเช่น จำนวนสองจำนวนสามารถคูณกันได้โดยใช้ตารางลอการิทึมและจับค่าที่แปลงได้มาบวกกัน โดยตัวดำเนินการสามตัวแรกข้างใต้นี้กำหนดให้ x = bc และ/หรือ y = bd ทำให้ logb(x) = c และ logb(y) = d การแปลงสมการก็สามารถใช้ตามนิยามของลอการิทึม x = blogb(x) และ x = logb(bx)
| log b ( x y ) = log b ( x ) + log b ( y ) {\displaystyle \log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)} | เพราะ | b c ⋅ b d = b c + d {\displaystyle b^{c}\cdot b^{d}=b^{c+d}} |
| log b ( x y ) = log b ( x ) − log b ( y ) {\displaystyle \log _{b}({\tfrac {x}{y}})=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)} | เพราะ | b c − d = b c b d {\displaystyle b^{c-d}={\tfrac {b^{c}}{b^{d}}}} |
| log b ( x d ) = d log b ( x ) {\displaystyle \log _{b}(x^{d})=d\log _{b}(x)} | เพราะ | ( b c ) d = b c d {\displaystyle (b^{c})^{d}=b^{cd}} |
| log b ( x y ) = log b ( x ) y {\displaystyle \log _{b}\left({\sqrt[{y}]{x}}\right)={\frac {\log _{b}(x)}{y}}} | เพราะ | x y = x 1 / y {\displaystyle {\sqrt[{y}]{x}}=x^{1/y}} |
| x log b ( y ) = y log b ( x ) {\displaystyle x^{\log _{b}(y)}=y^{\log _{b}(x)}} | เพราะ | x log b ( y ) = b log b ( x ) log b ( y ) = ( b log b ( y ) ) log b ( x ) = y log b ( x ) {\displaystyle x^{\log _{b}(y)}=b^{\log _{b}(x)\log _{b}(y)}=(b^{\log _{b}(y)})^{\log _{b}(x)}=y^{\log _{b}(x)}} |
| c log b ( x ) + d log b ( y ) = log b ( x c y d ) {\displaystyle c\log _{b}(x)+d\log _{b}(y)=\log _{b}(x^{c}y^{d})} | เพราะ | log b ( x c y d ) = log b ( x c ) + log b ( y d ) {\displaystyle \log _{b}(x^{c}y^{d})=\log _{b}(x^{c})+\log _{b}(y^{d})} |
โดยให้ b {\displaystyle b} , x {\displaystyle x} และ y {\displaystyle y} เป็นจำนวนจริงบวกและ b ≠ 1 {\displaystyle b\neq 1} ทั้ง c {\displaystyle c} และ d {\displaystyle d} เป็นจำนวนจริง
ผลลัพธ์ของกฎที่มาจากการยกเลิกเลขชี้กำลัง และกฎของเลขชี้กำลังที่จำเป็น โดยเริ่มต้นจากกฎข้อแรกจะเห็นว่า
x y = b log b ( x ) b log b ( y ) = b log b ( x ) + log b ( y ) ⇒ log b ( x y ) = log b ( b log b ( x ) + log b ( y ) ) = log b ( x ) + log b ( y ) {\displaystyle xy=b^{\log _{b}(x)}b^{\log _{b}(y)}=b^{\log _{b}(x)+\log _{b}(y)}\Rightarrow \log _{b}(xy)=\log _{b}(b^{\log _{b}(x)+\log _{b}(y)})=\log _{b}(x)+\log _{b}(y)}
กฎสำหรับเลขยกกำลังได้ถูกใช้ในกฎข้ออื่น ๆ ของกฎเลขชี้กำลังอีกด้วยดังที่เห็น
x y = ( b log b ( x ) ) y = b y log b ( x ) ⇒ log b ( x y ) = y log b ( x ) {\displaystyle x^{y}=(b^{\log _{b}(x)})^{y}=b^{y\log _{b}(x)}\Rightarrow \log _{b}(x^{y})=y\log _{b}(x)}
กฎที่เกี่ยวข้องกับเศษส่วนได้ถูกใช้ตามนี้
log b ( x y ) = log b ( x y − 1 ) = log b ( x ) + log b ( y − 1 ) = log b ( x ) − log b ( y ) {\displaystyle \log _{b}{\bigg (}{\frac {x}{y}}{\bigg )}=\log _{b}(xy^{-1})=\log _{b}(x)+\log _{b}(y^{-1})=\log _{b}(x)-\log _{b}(y)}
เช่นเดียวกัน กฎของกรณฑ์ก็ได้แปลงโดยการเขียนกรณฑ์ต่าง ๆ เป็นเศษส่วน
log b ( x y ) = log b ( x 1 y ) = 1 y log b ( x ) {\displaystyle \log _{b}({\sqrt[{y}]{x}})=\log _{b}(x^{\frac {1}{y}})={\frac {1}{y}}\log _{b}(x)}
เมนูนำทาง
รายชื่อเอกลักษณ์ลอการิทึมใกล้เคียง
แหล่งที่มา
WikiPedia: รายชื่อเอกลักษณ์ลอการิทึม